Question

已知函數f（x）=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx，x∈R，如圖，函數f（x）在[-1，1]上的圖象與x軸的交點從左到右分別為M、N，圖象的最高點為P，則

PM

與

PN

的夾角的余弦值是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  2

  5

• C、

  3

  4

• D、

  3

  5

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：由已知，f（x）=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx=sin（πx+

π

6

）．根據三角函數的圖象與性質分別求出M，N，P坐標，得出

PM

=（-

1

2

，-1），

PN

=（

1

2

，-1），再利用向量數量積公式變形得出夾角的余弦值．

解答： 解：f（x）=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx=sin（πx+

π

6

），
由f（x）=0，得出πx+

π

6

=kπ，k∈Z，
取k=0得x=-

1

6

所以M（-

1

6

，0），
取k=1得x=

5

6

所以N（

5

6

，0），
由f（x）=1，x∈[-1，1]，得πx+

π

6

=

π

2

，x=

1

3

，所以P（

1

3

，1），
∴

PM

=（-

1

2

，-1），

PN

=（

1

2

，-1），
cosθ=

PM • PN

| PM || PN |

=

3 4

5 2 × 5 2

=

3

5

．
故選：D．

點評：本題考查向量數量積、夾角的計算，考查了三角恒等變換、三角函數圖象與性質．考查轉化、計算能力，屬于中檔題．