Question

12．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓（x-$\sqrt{3}$）²+y²=2相切，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根據雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓（x-$\sqrt{3}$）²+y²=2相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，求得a和b的關系，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，從而可求雙曲線離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，即bx±ay=0
圓方程（x-$\sqrt{3}$）²+y²=2
∴C（$\sqrt{3}$，0），半徑為$\sqrt{2}$，
∵雙曲線線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓相切
∴$\frac{丨\sqrt{3}b丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴b²=2a²
∵c²=b²+a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$
∴雙曲線離心率等于$\sqrt{3}$，
故選A．

點評 本題考查了雙曲線的漸近線及其離心率、點到直線的距離公式、直線與圓相切的性質等多個基礎知識的綜合應用，考查轉化思想，屬于中檔題．