Question

7．已知函數f（x）=x³-3ax²+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a，b的方程組，解出即可；（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²-6ax+3b…（2分）
由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=3-6a+3b=-12}\\{f（1）=1-3a+3b=-11}\end{array}}\right.$…（4分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}}\right.$…（6分）
（2）由（1）知f'（x）=3x²-6ax+3b，
所以f'（x）＞0，解得x＞3或x＜-1…（8分）
f'（x）＜0，解得-1＜x＜3…（10分）
f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（3，+∞），
單調遞減區間為（-1，3）…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及切線方程問題，是一道中檔題．