Question

【題目】①設三個正實數a ， b ， c ， 滿足 ，求證：a ， b ， c一定是某一個三角形的三條邊的長；
②設n個正實數 a1,a2,...an 滿足不等式 (其中 )，求證： a1,a2,...an 中任何三個數都是某一個三角形的三條邊的長.

Answer 1

【答案】證明：①由題意，得 ，所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0 ，由于 a,b,c>0 ，所以上面不等式左邊至少有三項為正數，而四項之積為正，故這四項都是正數，從而推出 a+b>c,b+c>a,a,b,c>0，即 a,b,c 是某一個三角形的三條邊的長.
②設法把 a1,a2,...an 中任何三個的關系轉化為①的條件即可.
由已知及柯西不等式，得

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所以， .
那么由①可知， a1,a2,a3 是某個三角形三條邊的長，再由對稱性可知 a1,a2,...an 中任何三個數都可以作為某一個三角形三條邊的長.
【解析】本題主要考查了一般形式的柯西不等式，解決問題的關鍵是①根據所給條件分解因式結合三角形三邊關系判斷即可；
②設法把 a1,a2,...an 中任何三個的關系轉化為①條件即可.
由已知及柯西不等式得到 ，根據對稱性可知 a1,a2,...an 中任何三個數都可以作為某一個三角形三條邊的長.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用一般形式的柯西不等式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般形式的柯西不等式：．