Question

【題目】已知 m>1 且關于 x 的不等式 的解集為 [0,4] .
①求 m 的值；
②若 a ， b 均為正實數，且滿足 a+b=m ，求 a2+b2 的最小值.

Answer 1

【答案】【解答】①因為 m>1 ，不等式 可化為 ，
∴ ，即 ，
∵其解集為 [0,4] ，∴ ， m=3 .
②由①知 a+b=3 ，
(方法一：利用基本不等式)
∵ ，
∴ ，∴ a2+b2 的最小值為 .
(方法二：利用柯西不等式)
∵ ，
∴ ，∴ a2+b2 的最小值為 .
(方法三：消元法求二次函數的最值)
∵ a+b=3 ，∴b=3-a ，
∴ ，
∴ a2+b2 的最小值為 .
【解析】本題主要考查了二維形式的柯西不等式，解決問題的關鍵是(1)先利用 求出不等式的解集，再結合解集的端點值進行求解；(2)解法一：根據兩正數為定和，兩邊平方，借助 進行求解；解法二：構造柯西不等式的形式進行求解；解法三：消元，將其轉化為關于 a 的二次函數進行求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二維形式的柯西不等式的相關知識，掌握二維形式的柯西不等式：當且僅當時，等號成立．