Question

1．設橢圓C$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點分別為F₁，F₂，l是右準線，若橢圓上存在一點P使得PF₁是P到直線l的距離的3倍，則橢圓的離心率的取值范圍是[$\sqrt{7}$-2，1）．

Answer 1

分析 方法一：設P到直線l的距離m，由橢圓的第二定義可知：丨PF₂丨=me，根據橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，即可求得m的值，由$\frac{{a}^{2}}{c}$-a＜$\frac{2a}{3+e}$＜$\frac{{a}^{2}}{c}$+a，由0＜e＜1，即可求得橢圓的離心率的取值范圍；
方法二：設P到直線l的距離為d，根據橢圓的第二定義得：$\frac{丨P{F}_{2}丨}p9vv5xb5$=e=$\frac{c}{a}$，|PF₁|=3d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，則|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-$\frac{dc}{a}$=3d，即d=$\frac{2{a}^{2}}{3a+c}$，由a-c≤$\frac{6{a}^{2}}{3a+c}$≤a+c，即可求得橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：方法一：設P到直線l的距離m，則丨PF₁丨=3m，由橢圓的第二定義可知：丨PF₂丨=me，
由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，即m（3+e）=2a，
則m=$\frac{2a}{3+e}$，
由P到l的距離的范圍為[$\frac{{a}^{2}}{c}$-a，$\frac{{a}^{2}}{c}$+a]，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$-a＜$\frac{2a}{3+e}$＜$\frac{{a}^{2}}{c}$+a，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，整理得：e²+4e-3＞0
解得：e＞-2+$\sqrt{7}$，或e＜-2-$\sqrt{7}$，
由0＜e＜1，
∴橢圓的離心率的取值范圍[$\sqrt{7}$-2，1），
故答案為：[$\sqrt{7}$-2，1）．
方法二：設P到直線l的距離為d，
根據橢圓的第二定義得：$\frac{丨P{F}_{2}丨}p9vv5xb5$=e=$\frac{c}{a}$，|PF₁|=3d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
則|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-$\frac{dc}{a}$=3d，即d=$\frac{2{a}^{2}}{3a+c}$，
而|PF₁|∈[a-c，a+c]，即3d=$\frac{6{a}^{2}}{3a+c}$，
∴a-c≤$\frac{6{a}^{2}}{3a+c}$≤a+c，
由3a²+2ac+c²≥0，即e+2e+3≥0，對任意e恒成立；，
由3a²-4ac-c²≤0，即e²-4e-3≥0，解得：e＞-2+$\sqrt{7}$，或e＜-2-$\sqrt{7}$，
由0＜e＜1，
∴橢圓的離心率的取值范圍[$\sqrt{7}$-2，1），
故答案為：[$\sqrt{7}$-2，1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的第二定義及準線方程的應用，考查橢圓的離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．