Question

13．已知函數(shù)f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍[0，1]．

Answer 1

分析 利用換元法，令2^x=t，$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$，是單調(diào)增函數(shù)，轉(zhuǎn)化求勾勾函數(shù)在$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$是單調(diào)增區(qū)間，可得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增，
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增恒成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，令2^x=t，$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$，則函數(shù)t在[-$\frac{1}{2}$，3]上是單調(diào)遞增．
那么：函數(shù)f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|轉(zhuǎn)化為g（t）=|$2•t+\frac{a}{t}$|在$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$是單調(diào)遞增，
根據(jù)勾勾函數(shù)的性質(zhì)可知：
①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（t）在（$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}$，+∞）單調(diào)遞增，
故得：$\sqrt{\frac{a}{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：0＜a≤1．
②當(dāng)a＜0時(shí)，g（t）=|$2•t+\frac{a}{t}$|的零點(diǎn)為t=$±\sqrt{\frac{a}{2}}$，
函數(shù)y=2t$+\frac{a}{t}$是定義域R上的增函數(shù)，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$，
∴只需$\sqrt{\frac{a}{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：0＜a≤1．
故無(wú)解；
綜上所得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的綜合運(yùn)用能力，轉(zhuǎn)化思想和討論思想．屬于中檔題．