Question

5．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取B₁D₁的中點H連接C₁H，BH利用正方體的性質在結合線面垂直的判定定理可證得C₁H⊥面B₁D₁DB，則∠HBC₁即為BC₁與平面BB₁D₁D所成的角．再令BC=1在Rt△BHC₁中cosHBC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進而可得答案．

解答 解：連接B₁D₁取其中點H連接C₁H，BH則由正方體的性質知C₁H⊥D₁B₁
∵BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁且C₁H?面A₁B₁C₁D₁
∴C₁H⊥BB₁
∵BB₁∩D₁B₁=B₁
∴C₁H⊥面B₁D₁DB
∴C₁H⊥BH
∴∠HBC₁即為BC₁與平面BB₁D₁D所成的角
設BC=1則BC₁=$\sqrt{2}$，C₁H=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則在Rt△BHC₁中cosHBC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選C．

點評 本題考查空間角，考查學生的計算能力，正確作出線面角是關鍵．