Question

2．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），設函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數量積公式，及二倍角公式和和差角公式，可得函數f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），進而可得函數f（x）的最小正周期；
（2）令x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z，解得函數f（x）的單調遞增區間．令x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，解得函數f（x）的單調遞減區間．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），
∴函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx=sin（x-$\frac{π}{6}$），-----------（4分）
∴f（x）最小正周期為T=2π------------（6分）
（2）由x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z，
從而可得函數f（x）的單調遞增區間是：[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z---（9分）
由x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z，
從而可得函數f（x）的單調遞減區間是：[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z--（12分）

點評 本題考查的知識點是向量的數量積運算，三角函數的恒等變換，三角函數的圖象和性質，難度中檔．