Question

7．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓與直線x=-1相切，則拋物線的方程為y²=4x．

Answer 1

分析 判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，由已知得準(zhǔn)線方程為x=-2，即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：取AB的中點M，分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，如圖所示：
由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
由已知得準(zhǔn)線方程為x=-1，
∴$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
故所求的拋物線方程為y²=4x．
故答案為：y²=4x．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、直線圓的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．