Question

4．函數y=f（x）滿足對任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，且函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，f（1）=4，則f（2016）+f（2017）+f（2018）的值為4．

Answer 1

分析 由函數f（x-1）的圖象關于（1，0）對稱，且由y=f（x-1）向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知，函數y=f（x）的圖象關于原點對稱，即函數y=f（x）為奇函數，由已知條件可得函數的周期為4，利用所求周期即可求解．

解答 解：∵函數f（x-1）的圖象關于（1，0）對稱
且把y=f（x-1）向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象，
∴函數y=f（x）的圖象關于（0，0）對稱，即函數y=f（x）為奇函數，
∴f（0）=0，
∵f（x+2）=f（-x），又f（-x）=-f（x），
從而可得f（x+2）=-f（x），
將x換成x+2，可得f（x+4）=f（x），
即函數是以4為周期的周期函數，
∴f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，
f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=4，
f（2018）=f（504×4+2）=f（2）=-f（0）=0，
即有f（2016）+f（2017）+f（2018）=4．
故答案為：4．

點評 本題主要考出了函數的圖象的平移及函數圖象的對稱性的應用，利用賦值求解抽象函數的函數值，函數周期的求解是解答本題的關鍵所在．