Question

12．平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，點P是線段BD上任意一點．若$|\overrightarrow{AB}|=2，|\overrightarrow{AD}|=1$，且∠BAD=60°，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$的取值范圍是（　　）

• A． $[1，\frac{7}{4}]$
• B． $[-\frac{7}{4}，-1]$
• C． $[-\sqrt{2}，-1]$
• D． $[-1，\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 通過圖形，分別表示則$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{CP}$，然后進行向量數(shù)量積的運算即可．

解答 解：設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BD}$，λ∈[0，1]，由題意可得
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BD}$）•（$\overrightarrow{CB}$+λ$\overrightarrow{BD}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BD}$）•（-$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{BD}$）
=[$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）]•[-$\overrightarrow{AD}$+λ（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）]
=[（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$]•[（-λ$\overrightarrow{AB}$）+（λ-1）$\overrightarrow{AD}$]
=λ•（λ-1）${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（-2λ²+2λ-1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+λ（λ-1）${\overrightarrow{AD}}^{2}$
=4λ•（λ-1）+（-2λ²+2λ-1）•2•1•cos60°+λ（λ-1）•1
=3λ²-3λ-1=3${（λ-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{7}{4}$，
故當λ=$\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$ 取得最小值為-$\frac{7}{4}$，
當λ=0或1時，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$ 取得最大值-1，
故$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$ 的范圍為[-$\frac{7}{4}$，-1]，
故選：B．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，用已知向量表示未知向量，是中檔題．