Question

19．已知函數f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求函數的最小正周期；
（2）求函數的最大值及其相對應的x值．

Answer 1

分析 （1）將三角函數解析式化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，即可求函數的最小正周期；
（2）當cos（2x+$\frac{π}{4}$）=1時，即x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，即可求最大值．

解答 解：（1）因為f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（sin²x+cos²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數的最小正周期為π；
（2）當cos（2x+$\frac{π}{4}$）=1時，即x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，函數的最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數解析式的化簡以及最值的求法；關鍵是利用倍角公式正確化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，然后利用三角函數性質求最值．