Question

11．求滿足下列條件的橢圓方程：
（1）長軸在x軸上，長軸長為12，離心率為$\frac{2}{3}$；
（2）經過點（-6，0）和（0，8）
（3）$a=6，e=\frac{1}{3}$
（4）長軸長是短軸長的2倍，橢圓經過（3，0）

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），2a=12，a=6，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，c=4，b²=a²-c²=20，即可求得橢圓方程；
（2）由點（-6，0）和（0，8），可知：橢圓的焦點在y軸上，a=8，b=6，即可求得橢圓方程；
（3）由題意可知：由a=6，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，則c=2，b²=a²-c²=32，即可求得橢圓方程；
（4）由題意可知：a=2b，分類，當焦點在x軸上時，橢圓過（3，0），則a=3，b=$\frac{3}{2}$，當焦點在y軸上時，橢圓過（3，0），則b=3，a=6，即可求得橢圓方程．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意可知：2a=12，a=6，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，c=4，
b²=a²-c²=20，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$；
（2）由點（-6，0）和（0，8），可知：橢圓的焦點在y軸上，則$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則a=8，b=6，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（3）由題意可知：由a=6，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，則c=2，
由b²=a²-c²=32，
當橢圓的焦點在x軸上，$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$，
當橢圓的焦點在x軸上，$\frac{{x}^{2}}{32}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$或$\frac{{x}^{2}}{32}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$；
（4）由題意可知：2a=2×2b，即a=2b，
當焦點在x軸上時，橢圓過（3，0），則a=3，b=$\frac{3}{2}$，橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{4}}=1$，
當焦點在y軸上時，橢圓過（3，0），則b=3，a=6，橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{4}}=1$或$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查分類討論思想，屬于中檔題．