Question

5．數列{b_n}（n∈N^*）滿足b₁=2，且$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}_{n}}$=n（n∈N^*），數列{a_n}滿足a_n=3log₂b_n（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記f（n）=$\frac{1}{2}$（$\frac{|sinn|}{sinn}$+3），T_n=$\frac{（-1）{f}^{（2）}}{{a}_{1}{b}_{1}}$+$\frac{（-1）^{f（3）}}{{a}_{2}{b}_{2}}$+$\frac{（-1）^{f（4）}}{a{{\;}_{3}b}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{n}{b}_{n}}$，求證：$\frac{1}{6}$≤T_n$≤\frac{5}{24}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）從條件$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=n（n∈N⁺）入手，下標減一，兩式相減，得到b_n，別忘了檢驗n=1的情況；再求出a_n
（2）由第一問可得$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{n}{b}_{n}}$，以此為通項分別求出n=1，2時的T_n，然后再分別計算n≥3和n≥4的前n項和，緊扣所求進行證明．

解答 解：（1）根據條件$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=n（n∈N⁺）有，
$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}_{n}}$-（$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）=n-（n-1）=1（n≥2，n∈N^*），
化簡得：b_n=2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
經檢驗n=1時也成立，所以b_n=2ⁿ（n∈N^*），
根據條件可得，{a_n}滿足a_n=3log₂2ⁿ=3n（n∈N^*）．
（2）證明：由條件$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3n•{2}^{n}}，（sin（n+1）＞0）}\\{-\frac{1}{3n•{2}^{n}}（sin（n+1）＜0）}\end{array}\right.$可得T₁=$\frac{1}{6}$，T₂=$\frac{5}{24}$，
當n≥3時，T_n=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{24}-\frac{1}{{a}_{3}{b}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{n}{b}_{n}}$≥$\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-$（$\frac{1}{9•{2}^{3}}+\frac{1}{12•{2}^{4}}+…+\frac{1}{3n•{2}^{n}}$）
≥$\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{1}{9}•$（$\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{1}{36}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）$＞\frac{1}{6}$，
又${T}_{3}=\frac{5}{24}-\frac{1}{72}＜\frac{5}{24}$，
當n≥4時，${T}_{n}=\frac{5}{24}-\frac{1}{{a}_{3}{b}_{3}}+…+$$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{n}{b}_{n}}$$≤\frac{5}{24}-\frac{1}{9•{2}^{3}}+$（$\frac{1}{12•{2}^{4}}+…+\frac{1}{3n•{2}^{n}}$$≤\frac{5}{24}-\frac{1}{72}+\frac{1}{12}$（$\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{5}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{5}{24}-\frac{1}{72}+\frac{1}{12}•\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-3}}$）$＜\frac{5}{24}$，
綜上，$\frac{1}{6}$≤T_n$≤\frac{5}{24}$（n∈N^*）

點評 本題考查了數列求和；關鍵是將求和式子放縮，得到等比數列求和的形式，根據目標數字變形得到所證．屬于難題．