Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，設M是底面ABC內一點，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積，若f（M）=（

1

2

，x，y），且

1

x

+

a

y

≥8恒成立，則正實數a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,基本不等式

專題：空間位置關系與距離

分析：由題設和（M）的意義可得x+y=

1

2

，由此能求出正實數a的最小值．

解答： 解：由題設知VP-ABC=VA-BPC=

1

3

S△PBC•PA=1，
于是依f（M）的意義可得

1

2

+x+y=1，即有x+y=

1

2

，
從而

1

x

+

a

y

=(

1

x

+

a

y

)•2(x+y)=2[1+a+(

y

x

+

ax

y

)]≥2(1+a+2

a

)=2(1+

a

)2，
（其中等號當且僅當

y

x

=

ax

y

即y=

a

x時成立．）
∴由

1

x

+

a

y

≥8恒成立，得2(1+

a

)2≥8，
解得a≥1．
∴正實數a的最小值為1．
故答案為：1．

點評：本題考查滿足條件的實數的最小值的求法，解題時要注意棱錐的體積、均值定理的合理運用，是中檔題．