Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-a•lnx（a∈R），g（x）=x²-2mx+4（m∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，求實數a與b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調減區間；
（Ⅲ）當a=1時，若對任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導函數，由f′(2)=2-

a

2

=1求得a值，得到函數解析式，進一步求得f（2），由直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出f（x）的定義域，再求出函數導函數，分a≤0，和a＞0討論求得函數的單調區間；
（Ⅲ）把對任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）轉化為x∈[1，2]時，f（x）_min≥g（x）_min．然后分m＜1，1≤m≤2，m＞2討論求解m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

1

2

x²-a•lnx，得f′(x)=x-

a

x

，
由f′(2)=2-

a

2

=1，得a=2，
∴f(x)=

1

2

x2-2lnx，則f（2）=2-2ln2，
即切點為（2，2-2ln2），代入方程yx+b得，b=-2ln2；
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

，
①當a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）無減區間；
②當a＞0時，由f′（x）＜0得0＜x＜

a

，此時，f（x）減區間為(0，

a

)；
（Ⅲ）由題意可得x∈[1，2]時，f（x）_min≥g（x）_min．
∵a=1時，f′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

＞0，f（x）在x∈[1，2]為增函數，
∴f(x)min=f(1)=

1

2

，
g（x）=x²-2mx+4=（x-m）²+4-m²．
①當m＜1時，g（x）在區間[1，2]上遞增，∴g(x)min=g(1)=5-2m≤

1

2

，
由5-2m≤

1

2

，解得m≥

9

4

，舍去；
②當1≤m≤2時，g(x)min=g(m)=4-m2≤

1

2

，解得m≤-

14

2

或m≥

14

2

，
∴

14

2

≤m≤2；
③當m＞2時，g（x）在區間[1，2]上遞減，∴g(x)min=g(2)=8-4m≤

1

2

，
由8-4m≤

1

2

，解得m≥

15

8

，∴m＞2．
綜上，m≥

14

2

．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，是壓軸題．