Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長都是4，E是CC₁的中點．
（1）求證：截面EA₁B⊥面ABB₁A；
（2）求截面EA₁B的面積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,平面的基本性質及推論

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）設A₁B∩AB₁=Q，連結EQ．由已知條件推導出EQ⊥AB₁．EQ⊥A₁B．從而得到EQ⊥平面ABB₁A₁．由此能證明平面EA₁B⊥平面ABB₁A₁．
（2）由（1）可知△A₁BE是等腰三角形，以A₁B為底邊，EQ為高，可以求其面積．

解答： （1）證明：設A₁B∩AB₁=Q，連結EQ．

∵E是CC₁的中點，∴BE=A₁E，
又Q是A₁B₁中點，∴EQ⊥A₁B，
同理可證EQ⊥AB₁．∴EQ⊥平面ABB₁A₁．
又EQ?平面EA₁B，
∴平面EA₁B⊥平面ABB₁A₁．
（2）由（1）可知△A₁BE是等腰三角形，并且A₁B=

2

AB=4

2

，A₁E=BE=2

5

，所以EQ=2

3

，截面EA₁B的面積為

1

2

A1B×EQ=

1

2

×4

2

×2

3

=4

6

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，正三棱柱的性質的運用，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．