Question

12．設$\overrightarrow a$=（4，3），$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow b$在x軸正方向上的投影為2，且$\overrightarrow b$對應的點在第四象限，則$\overrightarrow b$=（2，14）或$（2，-\frac{2}{7}）$．

Answer 1

分析 根據投影得出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角及$\overrightarrow{b}$的橫坐標為2，設$\overrightarrow{b}$=（2，y），利用夾角公式列方程解出y即可．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（4，3），$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，設出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角為θ，
∴5cosθ=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$\overrightarrow{b}$在x軸上的投影為2，設$\overrightarrow{b}$=（2，y），則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=8+3y，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{4{+y}^{2}}$．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8+3y}{5•\sqrt{4{+y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得y=14或y=-$\frac{2}{7}$．
故$\overrightarrow{b}$=（2，14），或 $\overrightarrow{b}$=（2，-$\frac{2}{7}$），
故答案為：（2，14）或（2，-$\frac{2}{7}$）．

點評 本題考查了一個向量在另一個向量上的投影的定義，平面向量的數量積運算，屬于中檔題．