Question

2．已知函數f（x）=sin（x+θ）+$\sqrt{3}$cos（x+θ）（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}]}$））是偶函數，則θ的值為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得f（-x）=f（x），利用出公式可得：sinx$cos（θ+\frac{π}{3}）$=0，上式對于任意實數x∈R都成立，可得cosθ=0，θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}]}$]，即可得出．

解答 解：∵函數f（x）=sin（x+θ）+$\sqrt{3}$cos（x+θ）（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}]}$]）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），∴f（-x）=sin（-x+θ）+$\sqrt{3}$cos（-x+θ）=sin（x+θ）+$\sqrt{3}$cos（x+θ），
∴sinxcosθ+$\sqrt{3}$sinxsinθ=0，
∴2sinx$cos（θ+\frac{π}{3}）$=0，
上式對于任意實數x∈R都成立，∴cosθ=0，θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}]}$]，
∴$θ=\frac{π}{6}$．
故選：B．

點評 本題考查了函數的奇偶性、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．