Question

14．在直二面角α-AB-β中，P∈α，Q∈β，直線PQ與面α所成角為30°，與β所成角為45°，則異面直線PQ與AB所成角為（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 45°

Answer 1

分析 直接根據(jù)PC⊥β以及常用的結(jié)論：cosθ=cos∠PQC•cos∠DCQ即可求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)PQ=2a，則作PC⊥AB，C為垂足，QD⊥AB，D為垂足，
設(shè)異面直線PQ與AB所成角為為θ，
∵直線PQ與面α所成角為30°，與β所成角為45°，
∴CD=a，CQ=$\sqrt{2}a$
∴cos∠DCQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
可知PC⊥β知：cosθ=cos∠PQC•cos∠DCQ=cos45°•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故θ=60°，
故選B．

點評 本小題主要考查空間直線所成的角，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．