Question

已知函數f（x）=2cosxsinx（x-

π

3

）+

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求函數y=f（x）圖象的對稱中心；
（2）若2f（x）-m+1=0在[

π

6

，

7π

12

]有兩個相異的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）將函數進行化簡，結合三角函數的圖象和性質即可求函數y=f（x）圖象的對稱中心；
（2）根據2f（x）-m+1=0在[

π

6

，

7π

12

]有兩個相異的實根，建立條件關系即可，求m的取值范圍．

解答： 解：f(x)=2cosx(

1

2

sinx-

3

2

cosx)+

3

sin2x+sinxcosx=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)．
（1）由2x-

π

3

=kπ(k∈Z)得：x=

kπ

2

+

π

6

，
故f（x）的對稱中心為(

kπ

2

+

π

6

，0)(k∈Z)．
（2）由2f（x）-m+1=0可得：f(x)=

m-1

2

．
∵x∈[

π

6

，

7π

12

]，2x-

π

3

∈[0，

5

6

π]，
故f（x）∈[0，2]．
結合函數圖象，當1≤

m-1

2

＜2時，原方程有兩個相異的實根，
故3≤m＜5．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．