Question

若函數f（x）=cos²x+2msinx-2m-1（x∈[0，

π

2

]）的最大值為3，求m的值．

Answer 1

考點：三角函數的最值,同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：首先將解析式化簡，利用正弦函數得有界性求二次函數得最值，注意正確的全面討論．

解答： 解：f（x）=cos²x+2msinx-2m-1=-sin²x+2msinx-2m=-（sinx-m）²+m²-2m，
因為x∈[0，

π

2

]，所以sinx∈[0，1]，
令t=sinx，t∈[0，1]，則f（t）=-（t-m）²+m²-2m，
①當m＞1時，f（t）在[0，1]上是增函數，最大值為f（1）=-1+2m-2m=-1=3矛盾；
②當m＜0時，f（t）在[0，1]上是減函數，最大值為f（0）=-2m=3，解得m=-1.5；
③0≤m≤1，f（t）在[0，m]上是增函數，f（t）在[m，1]上是減函數，最大值為f（m）=m²-2m=3，解得m=-1（舍去），m=3．
綜上m的值為-1.5或者3．

點評：本題考查三角函數與二次函數相結合的最值的求法，考查了分類討論的思想的應用，是高考常考題型．