Question

證明：對?n∈N^*，eⁿ＞

1

2

n²+n+1．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：證明題,導數的綜合應用

分析：令f（x）=e^x-

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x²-x-1；對函數二階求導從而確定函數的單調性，從而證明．

解答： 證明：令f（x）=e^x-

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x²-x-1；
f′（x）=e^x-x-1，
f″（x）=e^x-1，
故當x＞0時，f″（x）＞0，
即f′（x）在[0，+∞）上是增函數；
故當x＞0時，f′（x）＞f′（0）=0，
即f（x）在[0，+∞）上是增函數；
故f（x）在[1，+∞）上是增函數；
又∵f（1）=e-

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-2＞0；
故eⁿ＞

1

2

n²+n+1．

點評：本題考查了數列與函數的關系及導數的綜合應用，屬于中檔題．