Question

7．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$與拋物線y²=8x的準線交于點P，Q，拋物線的焦點為F，若△PQF是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{9}$
• D． $\frac{16}{9}$

Answer 1

分析 由題意，x=-2，等邊三角形的邊長為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，將（-2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）代入雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$，可得方程，即可求出m的值．

解答 解：由題意，x=-2，等邊三角形的邊長為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
將（-2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）代入雙曲線x²-$\frac{y^2}{m}$=1，可得4-$\frac{16}{3m}$=1，
∴m=$\frac{16}{9}$，
雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{9}}$=1，a²=1，b²=$\frac{16}{9}$，c²=a²+b²=$\frac{25}{9}$
雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．