Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足$c（\sqrt{3}sinB+cosB）=a+b$．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a=5，△ABC的面積為$5\sqrt{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得$sinB（\sqrt{3}sinC-cosC-1）=0$，結合sinB≠0，可得：$sin（C-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，進而可求C的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形面積公式可求b，由余弦定理得c，進而利用正弦定理可求sinB的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，$c（\sqrt{3}sinB+cosB）=a+b$，
可整理變形為：$sinC（\sqrt{3}sinB+cosB）=sinA+sinB$，----------------------（2分）
由A=π-（B+C），可得：sinA=sin（B+C）
所以：$sinC（\sqrt{3}sinB+cosB）=sin（B+C）+sinB$，
整理得：$sinB（\sqrt{3}sinC-cosC-1）=0$，----------------------（4分）
因為sinB≠0，
所以$\sqrt{3}sinC-cosC=1$，可得：$sin（C-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∴$C-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
∴$C=\frac{π}{3}$．----------------------（6分）
（Ⅱ）由已知a=5，${S_{△ABC}}=5\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}×5b×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5\sqrt{3}⇒b=4$，------（8分）
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=21，故$c=\sqrt{21}$，…（10分）
可得：$sinB=\frac{bsinC}{c}=\frac{4}{{\sqrt{21}}}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．