Question

7．設集合 A={x|2＜x＜4}，B={a＜x＜3a}．
（1）若A∩B≠∅，求實數a的范圍．
（2）若A∪B={x|2＜x＜6}，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）由A∩B≠∅，列出不等式組，能求出實數a的范圍．
（2）由A∪B={x|2＜x＜6}，列出不等式組，能求出a．

解答 解：（1）∵集合 A={x|2＜x＜4}，B={a＜x＜3a}，
A∩B≠∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2≤a＜4}\\{3a＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≤2}\\{2＜3a≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≤2}\\{3a≥4}\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}$≤a＜4．
∴實數a的范圍是[$\frac{4}{3}$，4）．
（2）∵集合 A={x|2＜x＜4}，B={a＜x＜3a}，
A∪B={x|2＜x＜6}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2≤a≤4}\\{3a=6}\end{array}\right.$，
解得a=2．

點評 本題考查實數值的取值范圍及實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集、并集的性質的合理運用．