Question

15．設當x=θ時，函數f（x）=3sinx+4cosx取得最小值，則sinθ=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $-\frac{3}{5}$
• D． $-\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最小值．解出θ，

解答 解：$f（x）=3sinx+4cosx=5（{\frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx}）=5sin（{x+φ}）$，其中$sinφ=\frac{4}{5}$，$cosφ=\frac{3}{5}$，
由f（θ）=5sin（θ+φ）=-5，
可得sin（θ+φ）=-1，
∴$θ+φ=-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
$θ=-φ-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴$sinθ=sin（{-φ-\frac{π}{2}+2kπ}）=sin（{-φ-\frac{π}{2}}）=-cosφ=-\frac{3}{5}$，
故選：C．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．