Question

6．已知函數f（x）=2sinxcosx+cos2x，則下列說法正確的是（　�。�

• A． f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度后得到$g（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$的圖象
• B． 若f（x₁）=f（x₂），則x₁-x₂=kπ，k∈Z
• C． f（x）的圖象關于直線$x=\frac{5}{8}π$對稱
• D． f（x）的圖象關于點$（-\frac{3}{8}π，0）$對稱

Answer 1

分析 根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象的對稱性，得出結論．

解答 解：函數f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度后得到g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）的圖象，故排除A．
若f（x₁）=f（x₂），則x₁-x₂=kπ，k∈Z不對，例如f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=1，但0-$\frac{π}{2}$≠kπ，k∈Z，故排除B．
令x=$\frac{5π}{8}$，求得f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{3π}{2}$=-$\sqrt{2}$，為f（x）的最小值，故f（x）的圖象關于直線$x=\frac{5}{8}π$對稱，故C滿足條件．
令x=-$\frac{3π}{8}$，求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{2}$）=-$\sqrt{2}$，為f（x）的最小值，故f（x）的圖象不關于點$（-\frac{3}{8}π，0）$對稱，故排除D，
故選：C．

點評 本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．