Question

8．等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，$\frac{{{S_{10}}}}{S_5}=\frac{33}{32}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{3n-1}{a_n}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比數列的和，通過已知條件求出公比，然后求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）化簡數列b_n的通項公式，利用錯位相減法求解數列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）設{a_n}公比為q，因為$\frac{{{S_{10}}}}{S_5}=\frac{33}{32}≠2$，所以q≠1．…（2分）
所以$\frac{{{S_{10}}}}{S_5}=\frac{{\frac{{{a_1}（1-{q^{10}}）}}{1-q}}}{{\frac{{{a_1}（1-{q^5}）}}{1-q}}}=1+{q^5}$，所以$1+{q^5}=\frac{33}{32}$，$q=\frac{1}{2}$．
因此{a_n}的通項公式是${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．…（6分）
（Ⅱ）因為${b_n}=\frac{3n-1}{a_n}=（3n-1）•{2^{n-1}}$，所以${T_n}=2×{2^0}+5×{2^1}+8×{2^2}+…+（3n-1）×{2^{n-1}}$
兩邊同乘2得：$2{T_n}=2×{2^1}+5×{2^2}+…+（3n-4）×{2^{n-1}}+（3n-1）×{2^n}$
相減得：$-{T_n}=2×{2^0}+3×{2^1}+3×{2^2}+…+3×{2^{n-1}}-（3n-1）×{2^n}$
所以$-{T_n}=2+\frac{{3•2-3•{2^{n-1}}•2}}{1-2}-（3n-1）•{2^n}$
整理得${T_n}=（3n-4）{2^n}+4$．…（12分）

點評 本題考查數列求和，通項公式的求法，考查計算能力．