Question

已知函數，其中m，a均為實數．

（1）求的極值；

（2）設，若對任意的，恒成立，求的最小值；

（3）設，若對任意給定的，在區間上總存在，使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

(1)極大值為1，無極小值；(2)3?；(3)．

【解析】

試題分析：(1)求的極值，就是先求出，解方程，此方程的解把函數的定義域分成若干個區間，我們再確定在每個區間里的符號，從而得出極大值或極小值；（2）此總是首先是對不等式恒成立的轉化，由（1）可確定在上是增函數，同樣的方法（導數法）可確定函數在上也是增函數，不妨設，這樣題設絕對值不等式可變為

，整理為，由此函數在區間上為減函數，則在（3，4）上恒成立，要求的取值范圍．采取分離參數法得恒成立，于是問題轉化為求在上的最大值；（3）由于的任意性，我們可先求出在上的值域，題設“在區間上總存在，使得

成立”，轉化為函數在區間上不是單調函數，極值點為（），其次，極小值，最后還要證明在上，存在，使，由此可求出的范圍.

 

試題解析：（1），令，得x=1． 1分

列表如下：

x	（?∞，1）	1	（1，∞）
		0	?
g(x)	↗	極大值	↘

 

 

 

 

 

∵g(1)=1，∴y=的極大值為1，無極小值． 3分

（2）當時，，．

∵在恒成立，∴在上為增函數． 4分

設，∵>0在恒成立，

∴在上為增函數． 5分

設，則等價于，

即．

設，則u(x)在為減函數．

∴在（3，4）上恒成立． 6分

∴恒成立．

設，∵=，x?[3，4]，

∴，∴<0，為減函數．

∴在[3，4]上的最大值為v(3)=3?． 8分

∴a≥3?，∴的最小值為3?． 9分

（3）由（1）知在上的值域為． 10分

∵，，

當時，在為減函數，不合題意． 11分

當時，，由題意知在不單調，

所以，即．① 12分

此時在上遞減，在上遞增，

∴，即，解得．②

由①②，得． 13分

∵，∴成立． 14分

下證存在，使得≥1．

取，先證，即證．③

設，則在時恒成立．

∴在時為增函數．∴，∴③成立．

再證≥1．

∵，∴時，命題成立．

綜上所述，的取值范圍為． 16分

考點：導數的應用，求單調區間，極值，求函數的值域，不等式恒成立等函數的綜合應用.