Question

10．下列函數中，最小值為2的是（　　）

• A． y=$\frac{1}{x}$+x （x＜0）
• B． y=$\frac{1}{x}$+1 （x≥1）
• C． y=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$-2  （x＞0）
• D． y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$

Answer 1

分析 由基本不等式判斷A、C；運用函數的單調性即可判斷B、D．

解答 解：A，x＜0，-x＞0，則y=-[（-x）+$\frac{1}{-x}$]≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{1}{-x}}$=-2，當且僅當x=-1取得最大值-2，故A錯；
B，y=$\frac{1}{x}$+1 （x≥1）為減函數，函數有最大值2．故B錯；
C，y=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$-2 （x＞0），運用基本不等式可得$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$-2≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{4}{\sqrt{x}}}$-2=2，當且僅當x=4，取得最小值2，故C正確；
D，y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，由t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$＞1，由y=t+$\frac{1}{t}$在t≥$\sqrt{2}$遞減，可得函數的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故D錯．
故選：C．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用基本不等式和函數的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．