Question

5．已知圓O：x²+y²=4與曲線C：y=3|x-t|，曲線C上兩點A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均為正整數），使得圓O上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值k（k＞1），則m^s-n^p=0．

Answer 1

分析 設p（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4，結合且P點到點A的距離與到點B的距離之比為定值k（k＞1），m、n、s、p均為正整數，求出m、n、s、p的值，可得答案．

解答 解：設p（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4，
且P點到點A的距離與到點B的距離之比為定值k（k＞1），
$\frac{\sqrt{{（x}_{0}-m）^{2}+（{y}_{0}-n）^{2}}}{\sqrt{{（x}_{0}-s）^{2}+（{y}_{0}-p）^{2}}}$=k（k＞1），
⇒4+m²+n²-2mx₀-2ny₀=k²（4+s²+p²-2sx₀-2py₀）
?$\left\{\begin{array}{l}2m={k}^{2}•2s\\ 2={k}^{2}•2p\\ 4+{m}^{2}+{n}^{2}={k}^{2}（4+{s}^{2}+{p}^{2}）\end{array}\right.$
消去m，n得s²+p²=$\frac{4}{{k}^{2}}$＜4
所以s=p=1，k=$\sqrt{2}$，此時m=n=2，
此時m^s-n^p=0，
故答案為：0

點評 本題考查的知識點兩點之間的距離公式，恒成立問題，方程思想，難度較大．