Question

14．已知拋物線C₁：y²=4x，過焦點F的直線l交C₁于A，B兩點．
（1）若線段AB的中點為M，求點M的軌跡方程；
（2）若△AOB的面積為S（O為坐標原點），求證：$\frac{{S}^{2}}{|AB|}$為定值，并求出此定值；
（3）以AB為直徑的圓與y軸交于C，D兩點，求|CD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用點差法，結合中點坐標公式，求點M的軌跡方程；
（2）若△AOB的面積為S（O為坐標原點），求出面積，及|y₁-y₂|，即可證明：$\frac{{S}^{2}}{|AB|}$為定值，并求出此定值；
（3）證明⊙C′與直線l相切，利用以AB為直徑的圓與y軸交于C，D兩點，求|CD|的最小值．

解答 解：（1）拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
兩式相減可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴2y$•\frac{y}{x-1}$=4，
∴y²=2x-2，
∴點M的軌跡方程是y²=2x-2（拋物線C₁：y²=4x的內部）；
（2）設直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y=k（x-1），
聯立拋物線消去x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根與系數的關系可得y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$，
因此△AOB的面積為：S=_△AOB=S_△AOF+S_△BOF═$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=2$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
∴$\frac{{S}^{2}}{|AB|}$=$\frac{1}{2}$；
（3）設A、B到準線l距離為d₁，d₂，AB中點C′到準線l距離為d，則d=$\frac{1}{2}$（d₁+d₂），
又∵A、B在拋物線上
∴d₁=AF，d₂=BF，
∴d=$\frac{1}{2}AB$，
∴⊙C′與直線l相切，
以AB為直徑的圓與y軸交于C，D兩點，∴|CD|的最小值2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，難度大．