Question

6．已知首項為3的數列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）求數列{2ⁿ•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2}$，能證明數列{b_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{3}$的等差數列．
（2）由數列{b_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{3}$的等差數列，$_{n}=\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}n+\frac{1}{6}$．由此利用錯位相減法能求出數列{2ⁿ•b_n}的前n項和．

解答 證明：（1）∵首項為3的數列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
又$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴數列{b_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{3}$的等差數列．
（2）∵數列{b_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{3}$的等差數列，
∴$_{n}=\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}n+\frac{1}{6}$．
∴數列{2ⁿ•b_n}的前n項和：
T_n=$\frac{1}{6}×2+\frac{3}{6}×{2}^{2}+\frac{5}{6}×{2}^{3}$+…+（$\frac{n}{3}-\frac{1}{6}$）×2ⁿ，①
2T_n=$\frac{1}{6}×{2}^{2}+\frac{3}{6}×{2}^{3}+\frac{5}{6}×{2}^{4}+…+（\frac{n}{3}-\frac{1}{6}）×{2}^{n+1}$，②
①-②，得：-T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×2²+$\frac{1}{3}×{2}^{3}$+$\frac{1}{3}×{2}^{4}$+…+$\frac{1}{3}×{2}^{n}$-（$\frac{n}{3}-\frac{1}{6}$）×2ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（$\frac{n}{3}-\frac{1}{6}$）×2^n-1
=（$\frac{1}{2}-\frac{n}{3}$）×2ⁿ⁺¹-1，
∴T_n=（$\frac{n}{3}-\frac{1}{2}$）×2ⁿ⁺¹+1．

點評 本題考查等差數列的證明，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．