Question

4．如圖，將邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得AC=1，則三棱錐A-BCD的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，圖1中，連接AC與BD相交于點O，AC⊥BD，可得OA=OC=$\frac{1}{2}$AC．圖2中，△OAC是等邊三角形，BD⊥平面OAC，利用三棱錐A-BCD的體積=$\frac{1}{3}×{S}_{△OAC}$×BD，即可得出．

解答 解：如圖所示，圖1中，連接AC與BD相交于點O，AC⊥BD，
則OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=1，
圖2中，△OAC是等邊三角形，OA⊥BD，OC⊥BD，
OA∩OC=O．
∴BD⊥平面OAC，
∴三棱錐A-BCD的體積=$\frac{1}{3}×{S}_{△OAC}$×BD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選：A．

點評 本題考查了正方形與等邊三角形的性質、線面垂直的判定定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．