Question

13．對于n∈N*，定義$f（n）=[{\frac{n}{10}}]+[{\frac{n}{{{{10}^2}}}}]+[{\frac{n}{{{{10}^3}}}}]+…+[{\frac{n}{{{{10}^k}}}}]$，其中k是滿足10^k≤n的最大整數，[x]表示不超過x的最大整數，如[2.5]=2，[3]=3，則
（Ⅰ）f（2016）=223；
（Ⅱ）滿足f（m）=100的最大整數m為919．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由10^k≤2016，則k=3，根據定義進行求解即可得到結論；
（Ⅱ）討論m=1000，m＜1000，根據定義進行求解即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）由10^k≤2016，則k=3，
則f（2016）=[$\frac{n}{10}$]+[$\frac{n}{1{0}^{2}}$]+…+[$\frac{n}{1{0}^{k}}$]=[$\frac{2016}{10}$]+[$\frac{2016}{100}$]+[$\frac{2016}{1000}$]
=[201.6]+[20.16]+[2.016]=201+20+2=223；
（Ⅱ）當m=1000時，k=3，此時f（1000）=[$\frac{n}{10}$]+[$\frac{n}{1{0}^{2}}$]+…+[$\frac{n}{1{0}^{k}}$]
=[100]+[10]+[1]=111＞100，
∴m＜1000，即k=2，設三位數為m=a×100+b×10+c，
則f（m）=10a+b+a=11a+b=100，
則當a=9時，b=1，此時m=900+10+c=910+c，
∴當c=9時，m取得最大值為910+9=919，
故答案為：223，919．

點評 本題主要考查函數值的計算，根據[x]的定義是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．