Question

5．已知函數$f（x）=\frac{1}{{{4^x}-1}}+2a$是奇函數
（1）求常數a的值
（2）判斷函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）由函數解析式求出定義域，由奇函數的性質得f（1）+f（-1）=0，代入列出方程求出a的值；
（2）由指數函數的單調性先判斷，利用函數單調性的定義：取值、作差、變形、定號、下結論證明．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{{4}^{x}-1}+2a$是奇函數，
∴定義域是{x|x≠0}，f（1）+f（-1）=0，
則$\frac{1}{4-1}+2a+\frac{1}{{4}^{-1}-1}+2a=0$，
解得a=$\frac{1}{4}$；
（2）由（1）得，$f（x）=\frac{1}{{4}^{x}-1}+\frac{1}{2}$，
則f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上都是減函數，
證明如下：任取0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}+\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}+\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}-\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}-1）（{4}^{{x}_{2}}-1）}$，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），∴${4}^{{x}_{1}}-1$＞0，${4}^{{x}_{2}}-1$＞0，
又x₁＜x₂，則${4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數，
當x₁，x₂∈（-∞，0）時，同理可證f（x）在（-∞，0）上是減函數，
 綜上知，函數f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上都是減函數．

點評 本題考查了奇函數的性質，利用函數單調性的定義：取值、作差、變形、定號、下結論，證明函數的單調性，以及指數函數的單調性，考查化簡、變形能力．