Question

討論函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：f（x₁）-f（x₂）=a^x1-a^-x1-a^x2+a^-x2=（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

），當a＞1時，當0＜a＜1時分類討論判斷符號即可，得出單調性的結論．

解答： 解：函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）
∵設x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=a^x1-a^-x1-a^x2+a^-x2=（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

），
∵a x1+x2＞0，∴1+

1

ax1+x2

＞0，
∵，a x1＞ax2，
∴（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴當a＞1時，函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的單調遞增，
∵當0＜a＜1時，a x1＜a x2，
∴（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴當0＜a＜1時，函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的單調遞減．

點評：本題考查了函數的單調性的證明，分類討論，判斷因式的符號問題，關鍵是分解因式，屬于中檔題．