Question

已知函數f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然對數的底數．
（Ⅰ）證明：f（x）是R上的奇函數；
（Ⅱ）若關于x的不等式mf（x）≤e^-x-m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：本題（Ⅰ）利用函數奇偶性的定義，證明f（-x）=-f（x），判斷函數是奇函數，得到本題結論；（Ⅱ）先對不等式mf（x）≤e^-x-m-1進行參變量分離，得到m≤

1-ex

(ex)2+ex-1

，然后利用導函數研究g(x)=

1-ex

(ex)2+ex-1

的最小值，得到本題結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域為R，
∴f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x）．
∴f（x）是R上的奇函數．
（Ⅱ）∵x＞0，
∴e^x＞1，
故（e^x）²+e^x-1＞0；
由mf（x）≤e^-x-m-1得m（e^x-e^-x）≤e^-x-m-1，
即m（e^x-e^-x+1）≤e^-x-1
化簡得m[（e^x）²+e^x-1]≤1-e^x，
即m≤

1-ex

(ex)2+ex-1

恒成立，
即求g(x)=

1-ex

(ex)2+ex-1

的最小值即可．
令t=e^x，由x＞0，得t＞1，得：
g(t)=

1-t

t2+t-1

；
g′(t)=

t(t-2)

(t2+t-1)2

（t＞1），
令g′（t）=0，解得t=2；
令g′（t）＞0，解得t＞2；
令g′（t）＜0，解得1＜t＜2；
∴g（x）的單調遞減區間為（1，2），
g（x）的單調遞增區間為（2，+∞），
∴以g（x）的最小值為g(2)=

1-2

22+2-1

=-

1

5

；
綜上，所求實數m的取值范圍為(-∞，-

1

5

]．

點評：本題考查了函數奇偶性的定義和恒成立問題，本題難度適中，屬于中檔題．