Question

已知函數f（x）=

2

sin2xcos2x-

6

cos²2x+

6

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值與最小值，以及函數取得最值時x的集合；
（3）函數如何從y=sinx的圖象得到的？

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：首先將函數化為正弦型f（x）=

2

sin（4x-

π

3

），
（1）根據ω=4，f（x）的最小正周期；
（2）當4x-

π

3

=2kπ-

π

2

，f（x）取最小值為-

2

；當4x-

π

3

=2kπ+

π

2

，f（x）取最大值為

2

，進而可函數取得最值時x的集合；
（3）利用正弦型函數圖象變換規律可得從y=sinx的圖象得到函數圖象的變換方式；

解答： 解：（1）f（x）=

2

sin2xcos2x-

6

cos²2x+

6

2

=

2

2

sin4x-

6

2

cos4x=

2

sin（4x-

π

3

）
∵ω=4，
∴f（x）得最小正周期為T=

2π

4

=

π

2

；…4分
（2）當4x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x∈{x|x=

1

2

kπ-

π

24

，k∈Z}時，f（x）取最小值為-

2

；
當4x-

π

3

=2kπ+

π

2

，即x∈{x|x=

1

2

kπ+

5π

24

，k∈Z}時，f（x）取最大值為

2

；…8分
（3）將函數y=sinx的圖象向右平移

π

3

單位，
再將得到的函數圖象上所有的點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的

1

4

倍，
再將得到的函數圖象上所有的點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的

2

倍，
可得到函數f（x）的圖象．…12分．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡，求值，圖象變換規律，均屬常規知識和必備能力．