Question

19．已知函數f（x）=$\frac{6}{x}$，g（x）=x²+1，
（1）求f[g（x）]的解析式；
（2）關于x的不等式f[g（x）]≥k-7x²的解集為一切實數，求實數k的取值范圍；
（3）關于x的不等式f[g（x）]＞$\frac{a}{x}$的解集中的正整數解恰有3個，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的解析式，化簡f[g（x）]即可；
（2）由（1）化簡f[g（x）]≥k-7x²，并分離出k變形后，利用換元法、構造法求出函數的最值，即可求出實數k的取值范圍；
（3）由（1）化簡f[g（x）]＞$\frac{a}{x}$，結合條件將不等式化為$\frac{1}{a}＞\frac{1}{6}（x+\frac{1}{x}）$，利用函數$y=x+\frac{1}{x}$的性質和條件，列出不等式求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\frac{6}{x}$，g（x）=x²+1，
∴f[g（x）]=f（x²+1）=$\frac{6}{{x}^{2}+1}$；
（2）由（1）得，f[g（x）]≥k-7x²為：$\frac{6}{{x}^{2}+1}$≥k-7x²，
即k≤$\frac{6}{{x}^{2}+1}$+7x²=$\frac{6}{{x}^{2}+1}$+7（x²+1 ）-7解集為一切實數，
設t=x²+1，則t≥1，設y=$\frac{6}{t}+7t-7$，
∴函數y=$\frac{6}{t}+7t-7$在[1，+∞）上單調遞增，
∴函數y=$\frac{6}{t}+7t-7$在[1，+∞）上的最小值是6，則k≤6，
即實數k的取值范圍是（-∞，6]；
（3）由（1）得，f[g（x）]＞$\frac{a}{x}$為$\frac{6}{{x}^{2}+1}＞\frac{a}{x}$，
∵不等式f[g（x）]＞$\frac{a}{x}$的解集中的正整數解恰有3個，
∴x＞0時，有a＜$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$，即$\frac{1}{a}＞\frac{1}{6}（x+\frac{1}{x}）$，
設不等式$\frac{1}{a}＞\frac{1}{6}（x+\frac{1}{x}）$的解集（x₁，x₂），
由函數$y=x+\frac{1}{x}$的性質和條件得：
其中x₁∈（0，1），x₂∈（3，4]，
∴$\frac{1}{6}（3+\frac{1}{3}）＜\frac{1}{a}≤\frac{1}{6}（4+\frac{1}{4}）$，
解得$\frac{24}{17}≤a＜\frac{9}{5}$，
∴實數a的取值范圍是$[\frac{24}{17}，\frac{9}{5}）$．

點評 本題考查了函數解析式的求法，不等式恒成立問題的轉化，以及構造法求出最值問題，考查轉化思想和函數思想，分離常數法，化簡、變形能力，屬于中檔題．