Question

7．已知曲線$f（x）={x^3}+ax+\frac{1}{4}$在x=0處的切線與曲線g（x）=-lnx相切，則實數a=$-{e}^{\frac{3}{4}}$．

Answer 1

分析 求出函數f（x）的導函數，得到f′（0）=a，再求得f（0），寫出直線方程的點斜式，設切線切曲線g（x）=-lnx于點（x₀，-lnx₀），求出g′（x），可得關于a，x₀的方程組，求解得答案．

解答 解：由$f（x）={x^3}+ax+\frac{1}{4}$，得f′（x）=3x²+a，
則f′（0）=a，
又f（0）=$\frac{1}{4}$，
∴曲線$f（x）={x^3}+ax+\frac{1}{4}$在x=0處的切線方程為y-$\frac{1}{4}=a（x-0）$，
即y=ax+$\frac{1}{4}$．
設直線y=ax+$\frac{1}{4}$與曲線g（x）=-lnx的切點為（x₀，-lnx₀），
由g′（x）=$-\frac{1}{x}$，得g′（x₀）=$-\frac{1}{{x}_{0}}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{x}_{0}}=a①}\\{-ln{x}_{0}=a{x}_{0}+\frac{1}{4}②}\end{array}\right.$，
由①得${x}_{0}=-\frac{1}{a}$，代入②得：$-ln（-\frac{1}{a}）=-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$，
∴$ln（-\frac{1}{a}）=-\frac{3}{4}$，則$-\frac{1}{a}={e}^{-\frac{3}{4}}$，
∴a=$-\frac{1}{{e}^{-\frac{3}{4}}}$=$-{e}^{\frac{3}{4}}$．
故答案為：$-{e}^{\frac{3}{4}}$．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是中檔題．