Question

4．已知在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，曲線C₂的極坐標方程為：ρ²（1+sin²θ）=8，
（1）寫出C₁和C₂的普通方程；
（2）若C₁與C₂交于兩點A，B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）將曲線C₂的極坐標方程ρ²（1+sin²θ）=8，利用互化公式可得直角坐標方程．將曲線C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，消去t化為普通方程．
（2）若C₁與C₂交于兩點A，B，可設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），聯立方程組消去y，可得3x²-12x+10=0，利用弦長公式即可得出．

解答 解：（1）將曲線C₂的極坐標方程ρ²（1+sin²θ）=8，化為直角坐標方程x²+2y²=8；
將曲線C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，消去t化為普通方程：y=x-3．
（2）若C₁與C₂交于兩點A，B，可設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x-3\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，消去y，可得x²+2（x-3）²=8，
整理得3x²-12x+10=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4\\{x_1}{x_2}=\frac{10}{3}\end{array}\right.$，
則$|{AB}|=\sqrt{（{1+{1^2}}）{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}=\sqrt{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了直線的參數方程及其應用、極坐標方程化為直角坐標方程、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．