Question

12．已知$f（x）=lg\frac{x}{2-x}$，若f（a）+f（b）=0，則$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 $f（x）=lg\frac{x}{2-x}$，f（a）+f（b）=0，可得$lg\frac{a}{2-a}$+$lg\frac{b}{2-b}$=0，化為a+b=2．（a，b∈（0，2）），可得$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}（a+b）$$（\frac{4}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}）$，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：$f（x）=lg\frac{x}{2-x}$，f（a）+f（b）=0，∴$lg\frac{a}{2-a}$+$lg\frac{b}{2-b}$=0，∴$\frac{ab}{（2-a）（2-b）}$=1，化為a+b=2，（a，b∈（0，2））
則$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}（a+b）$$（\frac{4}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{4b}{a}×\frac{a}{b}}）$=$\frac{9}{2}$．當且僅當a=2b=$\frac{4}{3}$時取等號．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了函數的性質、基本不等式的性質、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．