Question

已知函數f（x）=

-|x3-2x2+x| (x＜1) lnx (x≥1)

，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則正實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：由x＜1時函數的單調性，畫出函數f（x）的圖象，把命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題轉化為“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直線y=kx，設直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點（m，lnm），求出切點和斜率，設直線與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切于點（0，0），得切線斜率k=1，由圖象觀察得出k的取值范圍．

解答： 解：當x＜1時，f（x）=-|x³-2x²+x|=-|x（x-1）²|=

x(x-1)2，x＜0 -x(x-1)2，0≤x＜1

，
當x＜0，f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，∴f（x）是增函數；
當0≤x＜1，f′（x）=-（x-1）（3x-1），∴f（x）在區間（0，

1

3

）上是減函數，
在（

1

3

，1）上是增函數；
畫出函數y=f（x）在R上的圖象，如圖所示；

命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，
即為任意t∈R，且t≠0時，使得f（t）＜kt恒成立；
作出直線y=kx，設直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點（m，lnm），
則由（lnx）′=

1

x

，得k=

1

m

，
即lnm=km，解得m=e，k=；
設直線與y=x（x-1）²（x≤0）的圖象相切于點（0，0），
∴y′=[x（x-1）²]′=（x-1）（3x-1），則有k=1，
由圖象可得，當直線繞著原點旋轉時，轉到與y=lnx（x≥1）圖象相切，
以及與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切時，直線恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，
∴k的取值范圍是（

1

e

，1]．
故答案為：（

1

e

，1]．

點評：本題考查了分段函數的應用問題，也考查了存在性命題與全稱性命題的互相轉化問題以及不等式恒成立的問題，是較難的題目．