Question

如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0）有一個內接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：依題意，設直線OA的方程為y=kx（k≠0），則直線OB的方程為y=-

1

k

x，分別聯立直線與拋物線方程y²=2px，可求得A、B兩點的坐標，利用，|OA|=1，|OB|=8，即可求得k與p的值，從而可得拋物線方程．

解答： 解：設直線OA的方程為y=kx（k≠0），則直線OB的方程為y=-

1

k

x，
由

y=kx y2=2px

得：x=0或x=

2p

k2

，
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），同理可得B（2pk²，-2pk），
由圖知，|OA|=1，|OB|=8，
∴（

2p

k2

-0）²+（

2p

k

-0）²=1，即4p²•

k2+1

k4

=1①，
（2pk²-0）²+（-2pk-0）²=64，即4p²•k²（k²+1）=64②，

②

①

得：k⁶=64，k²=4，代入①得：p²=

4

5

，又p＞0，
∴p=

2 5

5

．
∴拋物線方程為：y²=

4 5

5

x．

點評：本題考查拋物線的標準方程，著重考查兩點間的距離公式的應用，考查方程思想與運算能力，屬于難題．