Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+1）-f（x+2），x∈R．當x∈（0，3）時，f（x）=x²，則f（2014）=（　　）

• A、5
• B、-5
• C、-1
• D、1

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：令x取x+1代入f（x）=f（x+1）-f（x+2）得，f（x+1）=f（x+2）-f（x+3），兩個式子相加后得f（x+3）=-f（x），再變形即可得函數(shù)的周期，利用周期性、恒等式、已知的解析式求出f（2014）的值即可．

解答： 解：因為函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+1）-f（x+2）①，
令x取x+1代入上式得，f（x+1）=f（x+2）-f（x+3）②，
①+②可得，f（x+3）=-f（x），
所以f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
則函數(shù)是以6為最小正周期的周期函數(shù)，
因為當x∈（0，3）時，f（x）=x²，
所以f（2014）=f（6×335+4）=f（4）=-f（1）=-1，
故選：C．

點評：本題考查抽象函數(shù)的周期的求法以及應用，一般利用賦值法進行求解，屬于中檔題．