Question

若橢圓與雙曲線有共同的焦點F₁（-

13

，0），F₂（

13

，0），橢圓的長軸等于雙曲線實軸長的2倍，點P是兩條曲線在第一象限內的公共點，且∠F₁PF₂=120°，則PF₁=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意可得c=

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，設橢圓的長軸為2a₁，雙曲線的實軸為2a₂，則a₁=2a₂，運用橢圓和雙曲線的定義，可得PF₁=a₁+a₂，PF₂=a₁-a₂，由余弦定理可得a₂=2，a₁=4，即可得到所求值．

解答： 解：由題意可得c=

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，
設橢圓的長軸為2a₁，雙曲線的實軸為2a₂，
則a₁=2a₂，
由橢圓的定義可得，PF₁+PF₂=2a₁，
由雙曲線的定義可得，PF₁-PF₂=2a₂，
則有PF₁=a₁+a₂，PF₂=a₁-a₂，
再由余弦定理可得，F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂cos120°，
即有4×13=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²+（a₁+a₂）（a₁-a₂），
即為3a₁²+a₂²=52，則13a₂²=52，解得，a₂=2，a₁=4，
則有PF₁=a₁+a₂=6．
故答案為：6．

點評：本題考查雙曲線和橢圓的定義和性質，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．