Question

已知a，b，c分別是△ABC的角A、B、C的對邊，且（a+b）（sinA-sinB）=（sinB-sinC）c，若△ABC面積的最大值為

3

4

，則a=

 

．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：計算題,解三角形,不等式的解法及應用

分析：由條件利用正弦定理可得b²+c²-bc=a²．再利用基本不等式可得bc≤a²，當且僅當b=c時，取等號，此時，△ABC為等邊三角形，從而求得它的面積的最大值，解方程即可得到a．

解答： 解：△ABC中，（a+b）（sinA-sinB）=（sinC-sinB）c，
利用正弦定理可得（a+b）（a-b）=（c-b）c，即 b²+c²-bc=a²．
再利用基本不等式可得 a²≥2bc-bc=bc，
則bc≤a²，當且僅當b=c時，取等號，
此時，△ABC為等邊三角形，
它的面積為

1

2

bcsinA≤

1

2

a2sin60°=

3

4

a²，
即有

3

4

a²=

3

4

，解得a=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查正弦定理的應用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．